Les principes du dénombrement Le dénombrement nécessite la coordination de deux activités : une activité verbale qui consiste en la remémoration et l’énonciation des noms de nombres (la comptine ou chaîne verbale), et une activité motrice de pointage digital ou visuel qui permet d’assurer que tous les éléments ont été traités, chacun une fois et une seule. Le pointage et l’énonciation des noms de nombres sont synchronisés de manière à établir entre eux une stricte correspondance terme à terme.

Le dénombrement nécessite l’application stricte de cinq « principes » (Tableau I) dont la mise en œuvre est précocement attestée, entre trois ans et demi et quatre ans. En fait, les enfants respectent très tôt au moins les deux premiers de ces principes. La maîtrise du troisième pose problème (voir plus bas) et les chercheurs ne s’accordent pas sur sa précocité. Les deux derniers dépendraient plus de la pratique même du dénombrement.

Tableau I. Les principes fondamentaux du comptage [ 1].

Tableau I. Les principes fondamentaux du comptage [ 1].

La précocité des capacités d’évaluation des quantités suggérait que l’acquisition des premiers nombres et de l’activité de dénombrement était rapide et facile. Il suffirait d’établir des associations simples entre des étiquettes verbales et des quantités petites et peu nombreuses (un, deux et trois) qui sont très tôt discriminées. Or, cette phase requiert que les enfants, à la fois disposent de la suite des noms de nombres, au moins jusqu’au niveau de la collection à dénombrer, et aient compris la notion de cardinalité.

L’acquisition de la suite verbale des nombres Même à la période préscolaire, les performances arithmétiques des enfants d’Asie du Sud-Est l’emportent sur celles des enfants occidentaux. Cette supériorité se manifeste d’abord en comptage verbal, sans dénombrement, jusqu’à cent. Elle tient en partie au fait que les langues d’Asie du Sud Est présentent un système régulier (et décimal) de dénomination verbale. Par exemple, « treize » s’y énonce comme « dix trois » et « vingt six » comme « deux dix six ». Cette organisation de la numération verbale permet de produire ou percevoir facilement la composition des nombres en dizaines et unités. En revanche, les langues occidentales ne font pas clairement apparaître la structure décimale. Ainsi, les jeunes français ne découvrent l’organisation décimale qu’à partir de « dix-sept ». En conséquence, ils doivent apprendre par cœur les noms de nombres de un à seize au moins, au lieu de un à dix pour les jeunes asiatiques. Ils ne peuvent découvrir et appliquer aussi rapidement que ces derniers la combinatoire qui permet de générer la suite des nombres jusqu’à vingt et, au-delà, les noms des dizaines (trente, quarante, etc.). Il s’ensuit que l’apprentissage de la suite des nombres est lent et difficile. L’écart de performances entre les jeunes asiatiques et les jeunes européens ou américains s’amorce vers l’âge de quatre ans et augmente ensuite du fait que les premiers découvrent et appliquent plus précocement que les seconds les règles de construction des éléments de la suite numérique. La difficulté est encore accrue pour les jeunes français du fait des irrégularités de construction de soixante-dix, quatre-vingts et quatre-vingt dix.

La suite verbale des noms de nombres s’organise progressivement. Dans un premier temps, les mots constituent une chaîne non analysable, énoncée d’un seul bloc et ne permettant donc aucune opération. Ensuite, les items s’individualisent, autorisant le parcours dans le sens « avant » de la suite et la réalisation d’opérations simples par comptage à partir du début (ajouter deux à trois). Ultérieurement, la suite permet le comptage à partir de n (par exemple cinq), en avant comme en arrière, et l’amélioration de la résolution des additions et soustractions simples. L’étape suivante permet à la fois le dénombrement des entités et celui des chiffres utilisés pour aller d’un nombre (x) à un autre (y). Enfin, les opérations deviennent possibles dans les deux sens. L’organisation progressive entre trois et huit ans de la suite des noms de nombres permet la réalisation à la fois des activités de dénombrement et des opérations arithmétiques simples : addition et soustraction.

Les problèmes de la cardinalité Entre deux ans et demi et trois ans et demi les enfants savent que les mots de nombres renvoient à une cardinalité mais ils ignorent souvent laquelle (sauf pour un). Un long développement est nécessaire pour qu’ils parviennent à la connaissance de la quantité précise à laquelle font référence trois ou quatre. L’acquisition de la signification cardinale des noms de nombres pose deux problèmes : le caractère abstrait du codage des quantités par les dénominations ; le caractère catégoriel de l’emploi des mots de nombres.

Utiliser la numération verbale pour déterminer la cardinalité d’une collection nécessite de comprendre que le langage code la quantité. Avec une représentation mentale analogique, l’accroissement de quantité se traduit par une augmentation de longueur, de densité ou de volume. Le langage, lui, code la quantité par l’ordre : « sept » correspond à une quantité plus importante que « six » puisque « sept » vient après « six », mais « sept » ne comporte, en lui-même, aucun indice permettant de penser que la cardinalité qu’il évoque est supérieure à « six ». L’utilisation du langage exige donc que les noms de nombre évoquent les cardinalités, et qu’ils le fassent de manière précise et automatique. Or, cette évocation constitue un problème majeur pour les enfants de dix huit mois à quatre ou cinq ans.

La capacité de reconnaître l’équivalence requiert la capacité de catégoriser comme équivalents des ensembles qui diffèrent sur de nombreuses dimensions sauf une : la cardinalité. Les recherches mettent en évidence une lente progression entre trois ans et quatre ans et demi allant de la reconnaissance de l’équivalence pour les mêmes objets (uniquement des billes) à la reconnaissance de l’équivalence pour des collections plus ou moins hétérogènes (entités de formes et couleurs différentes). Elles font également apparaître que les enfants qui comptent le plus loin sont ceux qui reconnaissent le mieux l’équivalence des ensembles hétérogènes.

Ces données expliquent que les enfants jeunes ne recourent ni spontanément ni systématiquement au comptage pour déterminer la cardinalité d’une collection. Cet apprentissage des fonctions du dénombrement semble toutefois facile et rapide à établir.

L’évolution des procédures de résolution La résolution des additions simples (3 + 2) par les enfants passe par une série d’étapes, de la réunion physique des entités dont la somme est recherchée (rassembler physiquement deux billes et trois billes puis dénombrer l’ensemble résultant) à la récupération directe et automatique en mémoire de cette somme (3 + 4 → 7). Entre ces deux stratégies s’intercalent des procédures variées dont l’application dépend de la difficulté, de la pratique et du niveau de compréhension des opérations : comptage avec support physique d’abord, comptage mental ensuite, à partir du premier item fourni (3 + 4 → 3 4 5 6 7) puis à partir du plus grand des deux (3 + 4 → 4 + 3 → 4 5 6 7), ce qui nécessite la mise en œuvre de la commutativité (pour aller de 3 + 4 à 4 + 3).

Dès cinq ans, les enfants utilisent un éventail de procédures différentes en fonction de la difficulté des opérations, du contexte. Selon que la situation oblige à l’exactitude ou à la rapidité, le même enfant soit retrouve en mémoire un résultat (éventuellement erroné) soit compte pour éviter l’erreur. Les opérations les plus faciles (les doubles 2 + 2, 3 + 3) sont systématiquement résolues par récupération. Les plus difficiles mobilisent le comptage ou des procédures de décomposition (9 + 7 => 10 + 7 - 1 => 16).

L’évolution des performances correspond au passage d’une procédure de comptage algorithmique initialement lente, coûteuse et propice aux erreurs à la récupération directe de résultats en mémoire, activés par la présentation des opérandes (3 + 2 → 5). Cette récupération porte d’abord sur les opérations les plus simples (2 + 1 ; 2 + 2). Elle s’étend ensuite aux opérations plus complexes (3 + 4), de manière variable selon les individus. Néanmoins, les procédures antérieures restent disponibles, comme l’atteste le recours des adultes au comptage.

Concepts et procédures La compréhension par les enfants des aspects conceptuels de l’addition a été moins étudiée que l’apprentissage et la mise en œuvre des procédures. Toutefois, les données montrent que les enfants de CP et CE1 comprennent, d’une part, la commutativité (par exemple résoudre 3 + 4 facilite la résolution ultérieure de 4 + 3) et, d’autre part, à un moindre degré, l’associativité (la résolution de 8 + 3 + 2 facilite celle de 8 + 5). En revanche, la compréhension que les deux membres d’une équation représentent la même quantité (5 + 4 + 3 = 6 + 1 + ?) est plus tardive (cinquième primaire, CM2). Une question reste rarement abordée, qui concerne les relations entre connaissances conceptuelles et connaissances procédurales : les premières conditionnent-elles l’acquisition des secondes ou inversement ? Encore trop peu de travaux sont disponibles pour répondre à cette question.

Les enfants ne semblent pas éprouver de difficultés conceptuelles dans l’acquisition des additions et de leurs propriétés. Toutefois, les recherches portant sur des populations présentant des pathologies restent trop rares pour que l’on puisse conclure à la facilité générale des additions. Les données disponibles suggèrent que les difficultés résultent d’insuffisantes capacités en mémoire de travail, lesquelles contraignent fortement la mise en œuvre des procédures de résolution.