Acquisitions et apprentissages

2007


ANALYSE

4-

Apprentissage de l'arithmétique

Il est impossible d'évoquer la genèse du nombre et des habiletés numériques chez l'enfant sans évoquer Piaget et de ses collaboratrices (Piaget et Szeminska, 1941renvoi vers ; Piaget et Inhelder, 1959renvoi vers). L'objectif de Piaget était de montrer que la construction de la notion de nombre ne dépend pas du langage, mais de l'action intériorisée devenue réversible, c'est-à-dire de ses aspects opératifs. Pour Piaget, le nombre est solidaire d'une structure d'ensemble sans laquelle il n'y a pas de conservation des totalités numériques. Il n'est intelligible que dans la mesure où il demeure identique à lui-même quelle que soit la disposition des unités dont il est composé. C'est la raison pour laquelle Piaget a essentiellement étudié le nombre au travers de tâches dites de conservation. La conservation du nombre résulterait d'une coordination des diverses dimensions en jeu (l'espace occupé par une collection et la densité) et relèverait d'une pensée opératoire et logique.
Bien qu'ayant eu une énorme importance tant en psychologie qu'en pédagogie, l'approche « logiciste » de Piaget ne peut expliquer les premières acquisitions de l'enfant. D'une part, la tâche de conservation du nombre a reçu d'innombrables critiques (pour une revue, Fayol, 1990renvoi vers). Les données empiriques suggèrent que la réussite à cette tâche ne relève pas de la logique opératoire que Piaget y décelait et qu'elle n'a pas le caractère essentiel qu'il lui prêtait. D'autre part, bien avant l'accès au stade opératoire concret, les enfants d'école maternelle manifestent préalablement à tout apprentissage académique, un large éventail d'habiletés numériques comme le comptage, le dénombrement, et même la résolution de problèmes additifs simples (Siegler, 1996renvoi vers). Ces constats affaiblissent l'importance d'une supposée rupture développementale aux alentours de 7 ans marquée par l'accès à une première forme de logique concrète et dont l'indice le plus fiable serait la conservation du nombre.
Cependant, l'approche piagetienne a fortement contribué à renouveler notre conception des rapports entre l'enfant et le nombre. D'une part, la découverte par Piaget d'une intelligence préverbale chez le bébé a ouvert la voie aux études portant sur les compétences numériques précoces chez le nourrisson. D'autre part, l'attention portée à une compréhension du nombre allant au-delà de la simple maîtrise d'habiletés d'énumération, de dénombrement ou de calcul conserve toute sa valeur.

Prémices du nombre

Les capacités des animaux, des bébés et des peuplades dites « primitives » à discriminer des quantités ont été étudiées afin de repérer des capacités numériques élémentaires.

Capacités numériques chez l'animal

Les performances des animaux (singes, rats, pigeons) à des tâches de comparaison ou de discrimination de quantités d'objets ou d'événements montrent que les animaux réussissent mais de manière imparfaite (pour une synthèse, Brannon, 2005renvoi vers). Leurs choix, d'une part, ne sont pas aléatoires et, d'autre part, présentent une variabilité d'un essai à l'autre et d'une quantité à l'autre autour d'une moyenne. Cette variabilité augmente avec l'accroissement de la taille (ou magnitude) des entités à comparer. Les données collectées auprès de différentes espèces ont mis en évidence que le rapport de la dispersion des évaluations sur la taille de la quantité à estimer était une constante, ce qui correspond à une donnée classique de la psychophysique (la loi de Weber). Les animaux disposeraient d'une représentation mentale des magnitudes qui serait formellement analogue à des points sur une ligne de nombres. Cette représentation serait « floue » en ce sens que, même après un long entraînement, les animaux ne parviennent pas à déterminer exactement la numérosité d'une collection ou d'une série discrète de 4, 6 ou 8 éléments (Hauser et coll., 2000renvoi vers).

Capacités numériques chez le bébé

La sensibilité des jeunes enfants (de moins de 12 mois) à la quantité est réputée très précoce. Par exemple, ils discriminent les groupes d'objets ou de jetons sous réserve que les quantités soient petites (1, 2 et 3 items) (Starkey et Cooper, 1980renvoi vers ; Strauss et Curtis, 1981renvoi vers ; Antell et Keating, 1983renvoi vers). Il se pourrait même qu'ils disposent d'une représentation amodale des quantités puisqu'ils sont en mesure de discriminer et apparier les nombres d'événements (Canfield et Smith, 1996renvoi vers ; Wynn, 1996renvoi vers ; Sharon et Wynn, 1998renvoi vers) et les ensembles de sons (Bijeljac-Babic et coll., 1993) sur la base de la quantité. Toutefois, ces résultats déjà anciens ont donné lieu à des analyses critiques qui interdisent de les tenir pour acquis.
Une question importante et mal résolue a trait au caractère numérique ou non des représentations ainsi mises en évidence. S'agit-il de représentations d'emblée spécifiquement numériques, et donc discrètes, ce qui étayerait l'hypothèse de l'existence d'un système inné dédié au traitement du nombre (Wynn, 1998renvoi vers) ? S'agit-il plutôt d'un système traitant des quantités continues, le caractère numérique discret n'étant pas inhérent à ce mode de traitement et n'apparaissant que plus tard ? S'agit-il d'un système général, non spécifiquement dédié au nombre ni à la quantité, traitant des objets discrets, et dont certaines propriétés pourraient laisser penser qu'on a affaire à des traitements numériques (Simon, 1997renvoi vers) ?
Plusieurs séries de recherches prétendent établir que les enfants n'ayant pas encore acquis le langage ont une représentation précise des petites quantités. Toutefois, dans la plupart des expériences, le matériel confond le nombre d'éléments et diverses dimensions continues étroitement corrélées à la numérosité (la surface, le volume) (Starkey et Cooper, 1980renvoi vers). Ce constat a conduit Feigenson et coll. (2002renvoi vers) à réaliser une série d'expériences dans lesquelles ils utilisent de petits ensembles d'objets tridimensionnels conduisant à manipuler conjointement les dimensions numérique et continue. De manière générale, les données rapportées par Feigenson et coll. montrent que les jeunes enfants sont en mesure de discriminer les petites quantités (1/2 ; 2/3), et que ces discriminations sont très précocement associées à la relation plus/moins. En revanche, elles remettent en question la spécificité d'un système dédié au seul traitement numérique.
Lorsque les collections comportent plus de 4 ou 5 objets, les très jeunes enfants se référeraient à une représentation analogique fournissant une quantification approximative. Le traitement pourrait dépendre d'un autre type de processus associé à une ligne analogique numérique (Mix et coll., 2002renvoi vers). Deux expériences ont produit des données sans équivoque à l'appui de cette thèse. Il a été montré en contrôlant la surface, la densité, la brillance et l'enveloppe des collections que les enfants de 6 mois manifestent une déshabituation quand on passe de 8 à 16 jetons (puis de 16 à 32) mais non de 8 à 12 (Xu, 2000renvoi vers ; Xu et Spelke, 2000renvoi vers). Ces données suggèrent que les enfants ont besoin d'un rapport de 1/2 pour discriminer les quantités, au moins lorsqu'elles dépassent une certaine taille et/ou qu'elles sont traitées comme des dimensions continues.
Des données complémentaires mettent en évidence que les nouveau-nés de 9 mois sont en mesure d’évaluer le caractère réaliste ou non des quantités (>5) résultant de l’ajout ou du retrait d’une quantité donnée à une collection initiale (McCrink et Wynn, 2004renvoi vers).
En résumé, les nouveau-nés semblent, comme les animaux, en mesure de mobiliser deux systèmes différents pour le traitement des quantités. L'un, précis mais ne s'appliquant qu'aux petits ensembles discrets (1, 2 et 3) ; l'autre, extensible aux très grandes quantités, opérant sur les dimensions continues ou traitant comme tels les ensembles d'éléments discrets, fournissant une évaluation approximative suivant la loi de Weber (Fayol et Seron, 2005renvoi vers). La question du caractère spécifiquement numérique de ces modes de traitement reste posée, tout comme celle des caractéristiques des représentations sur lesquelles ils pourraient s'effectuer.

Capacités numériques chez les peuplades dites « primitives »

Les études anthropologiques ont également mis en évidence chez des peuplades dites « primitives » des capacités numériques élémentaires similaires à celles des bébés. L'opposition entre peuples civilisés et peuples dits « primitifs » qui s'articule, entre autres, sur une opposition entre mentalité logique et mentalité pré-logique doit beaucoup aux considérations des ethnographes de la fin du 19e siècle et du début du 20e (Lévy-Bruhl, 1912renvoi vers). Le « primitivisme » sous-jacent à cette conception qui considère que les systèmes les plus primitifs sont les plus simples et que le comptage dans les sociétés sans écriture serait immergé dans le concret, confinant ainsi bien des peuplades à la fameuse suite « un, deux, trois, beaucoup », perdure encore dans les travaux de synthèse les plus répandus (Ifrah, 1994renvoi vers). Or, de nombreux travaux d'africanistes montrent l'omniprésence de systèmes numériques dans des groupes qui font peu de cas de leurs procédés de calcul et de leur système de numération (Fainzang, 1985renvoi vers). Des nombres élevés peuvent être atteints en poursuivant un comput qui fonctionne par « application » de l'ensemble des doigts et des orteils sur chacun d'entre eux. Ces études anthropologiques attestent de l'existence de systèmes numériques plus ou moins élaborés, y compris dans les sociétés présentées comme les plus « primitives ». Par ailleurs, si la connaissance et l'utilisation de systèmes verbaux permettant une évaluation précise des quantités ne sont pas attestées dans certaines peuplades, les individus qui en sont membres sont néanmoins capables de réaliser des évaluations globales approximatives du même type que celles qui ont été mises en évidence chez les nouveau-nés (Pica et coll., 2004renvoi vers).
Il reste de nombreuses interrogations sur les capacités numériques élémentaires et aucun modèle ne permet actuellement de rendre parfaitement compte de toutes les observations. Nous savons que les bébés, les peuplades dites « primitives » et les animaux sont à la fois capables de détecter certains types de propriétés auxquelles les enfants plus âgés et les adultes de nos sociétés peuvent attacher des représentations numériques et d'évaluer de manière approximative les quantités, vraisemblablement en s'appuyant sur les propriétés continues (longueur, surface, intensité...). Certains résultats peuvent être interprétés comme attestant l'existence de capacités numériques innées, produit de l'évolution des espèces. Même si tel est le cas, ces capacités ne constituent qu'un point de départ. Les connaissances mathématiques plus complexes que l'être humain a développées au cours de son histoire vont bien au-delà et font appel à des systèmes numériques symboliques.

Premiers apprentissages

Les premiers apprentissages numériques font appel au système verbal et obéissent à une chronologie dont les processus ont fait l'objet de plusieurs modèles explicatifs.

Acquisition de la chaîne verbale

Dans nos sociétés, les activités ayant trait à la numération orale mobilisent un système verbal faisant intervenir un lexique et des règles de combinaison. Les systèmes verbaux sont des systèmes conventionnels reposant sur deux grands principes :
• la lexicalisation qui est un processus élémentaire associant à une cardina-lité une dénomination et une seule (cinq ; seize) ;
• une syntaxe constituée de règles combinatoires permettant d'élaborer une infinité de formulations complexes correspondant à n'importe quelle cardinalité (exemple : six cent soixante-quinze millions trois cent dix mille deux).
Dans le cas du nombre, les règles syntaxiques opposent des combinaisons de types additif (cent trois) ou multiplicatif (trois cents) (Power et Longuet-Higgins, 1978renvoi vers). Le système numérique oral français repose sur la lexicalisation des cardinalités allant jusqu'à 16, des dizaines de vingt à soixante, de cent, mille, million et milliard, sur une syntaxe codant uniquement des relations additives jusqu'à 79 (exemple : vingt-cinq = vingt + cinq) et sur une syntaxe combinant les relations additives et multiplicatives (exemple : quatre cent six = quatre x cent + six) (Fayol, 2002renvoi vers).
La chaîne verbale orale s'acquiert entre deux et six ans. Fuson et coll. (1982renvoi vers) ont établi que les suites numériques produites par les enfants en cours d'apprentissage s'organisent initialement suivant trois parties :
• stable et conventionnelle, qui s'accroît avec l'âge, surtout à partir de 4 ans et demi ;
• stable et non conventionnelle, qui concerne surtout les nombres entre 10 et 19 ;
• ni stable ni conventionnelle, qui change d'un essai à l'autre.
Cette construction progressive de la suite numérique reflète un apprentissage par cœur de type sériel. Elle est lente et difficile et les différences interindi-viduelles sont faibles. À partir de 4 ans et demi, le nombre de formes verbales disponibles augmente rapidement et certains enfants commencent à utiliser les règles de la combinatoire. Les différences interindividuelles se creusent alors entre les enfants utilisant déjà la combinatoire et ceux qui en sont encore à l'apprentissage par cœur. Ces différences sont particulièrement marquées entre les performances des enfants occidentaux, confrontés à des systèmes verbaux irréguliers, et les enfants du sud-est asiatique qui acquièrent très vite des systèmes à la base dix saillante (Miller et Paredes, 1996renvoi vers) (pour une synthèse, voir Fayol, 2002renvoi vers).

Processus de quantification

Trois processus de quantification sont distingués : le dénombrement, le subi-tizing et l'estimation (Fayol, 1990renvoi vers ; Geary, 1994renvoi vers ; Dehaene, 1997renvoi vers ; Camos, 1999renvoi vers). En ce qui concerne l'émergence du dénombrement dans l'enfance, deux points de vue théoriques s'opposent : la théorie dite des « principes en premier » et celle dite des « principes après ». La théorie des principes en premier affirme que les principes guidant le dénombrement seraient innés. Ces principes, définis par Gelman et Gallistel (1978renvoi vers), sont au nombre de cinq : le principe de correspondance un à un (chaque élément de la collection à dénombrer est associé à une seule étiquette) ; le principe d'ordre stable (la suite des étiquettes constitue une liste ordonnée) ; le principe de cardinalité (la dernière étiquette utilisée représente le cardinal de la collection) ; le principe d'abstraction (l'hétérogénéité des éléments n'a pas d'impact sur leur dénombrement) ; le principe de non-pertinence de l'ordre (l'ordre dans lequel les éléments sont dénombrés n'a pas d'incidence sur le cardinal de la collection). Selon ce modèle, ces principes de dénombrement contraindraient l'action et permettraient de reconnaître les procédures légitimes.
Par opposition à la théorie des « principes en premier », la théorie des « principes après » postule que les principes sont progressivement abstraits d'une pratique répétée des procédures de dénombrement acquises par imitation (Fuson, 1988renvoi vers). Le dénombrement serait d'abord une activité sans but, une routine, et l'enfant ne découvrirait que progressivement le lien avec la cardinalité. L'émergence de ce lien trouverait son origine dans le subitizing.
Le subitizing est un processus perceptif rapide et sûr d'appréhension immédiate de la quantité pour les petites numérosités, c'est-à-dire inférieures à 3 ou 4 objets (Mandler et Shebo, 1982renvoi vers). Divers modèles ont été proposés afin d'expliquer cette différence de traitement entre les collections inférieures à 4 et celles qui sont supérieures à 4 objets. Mandler et Shebo (1982renvoi vers) proposent que le subitizing repose sur la reconnaissance de configurations canoniques, ou patrons perceptifs. Pour leur part, Gallistel et Gelman (1992renvoi vers) défendent un point de vue radical selon lequel le subitizing ne serait rien d'autre qu'un dénombrement très rapide utilisant des étiquettes non verbales. Enfin, d'autres auteurs pensent qu'il relèverait de l'application d'un processus général d'estimation. En une ou deux secondes, les adultes peuvent estimer la numérosité d'une collection pouvant aller jusqu'à plusieurs centaines de points, sous réserve d'entraînement (Krueger, 1982renvoi vers). La variabilité dans l'estimation s'accroît avec la numérosité. L'empan du subitizing serait alors simplement l'intervalle dans lequel l'estimation est suffisamment précise pour produire un seul candidat. Bien que ces auteurs fassent l'amalgame entre subitizing et estimation, ils n'expliquent toutefois pas le processus permettant l'estimation. Si quelques modèles mathématiques ont été proposés pour expliquer ce processus (van Oeffelen et Vos, 1982renvoi vers), l'estimation tout comme le subitizing restent des processus encore mal connus.

Émergence des outils arithmétiques

Les travaux portant sur le bébé et le jeune enfant ont montré que, très tôt, les humains disposent d'une compréhension intuitive des transformations affectant les quantités : ajouts et retraits, parfois hâtivement assimilés à des additions et soustractions simples (Wynn, 1992renvoi vers). Cette conception n'est toutefois pas acceptée par tous. En revanche, il est clair que dès 5 ans, et avant tout enseignement formel, beaucoup d'enfants de diverses cultures résolvent des problèmes arithmétiques simples (ajouts et retraits de quantités correspondant à des nombres à 1 chiffre) à l'aide du comptage (Siegler et Jenkins, 1989renvoi vers). Les stratégies utilisées par les jeunes enfants dérivent de leur habileté préexistante à dénombrer des collections. Bien qu'il existe des différences liées à la culture (Saxe, 1982renvoi vers), et même au sexe dans les stratégies utilisées, il existe d'importantes ressemblances dans le développement de l'arithmétique chez l'enfant (Geary, 1994renvoi vers).

Opérations simples

Pour résoudre les additions simples comme 4+3, les enfants disposent de cinq classes générales de stratégies : l'utilisation d'objets, le comptage sur les doigts, le comptage verbal, les décompositions et enfin la récupération directe en mémoire du résultat (Carpenter et Moser, 1983renvoi vers ; Siegler, 1987renvoi vers). Les mêmes classes de stratégies sont observées pour les soustractions, auxquelles s'en ajoute une autre faisant appel à l'addition indirecte correspondante (exemple : 3+?=7 pour résoudre 7-3 ; Baroody, 1984renvoi vers).
En ce qui concerne les additions simples, Fuson (1982renvoi vers) a montré que les enfants, dès l'âge de 3 ans, peuvent utiliser des objets pour répondre à des questions telles que « combien font 3 gâteaux et 2 gâteaux ? » en matéria-lisant chaque nombre à additionner par une collection d'objets et en dénombrant la collection résultante à l'aide du pointage manuel. Cependant, les enfants de 4 et 5 ans utilisent plus fréquemment le comptage sur les doigts ou le comptage verbal pour résoudre les additions simples (Siegler et Shrager, 1984renvoi vers).
La transition du comptage sur les doigts au comptage verbal est progressive et dépend principalement de la capacité de l'enfant à contrôler mentalement le déroulement du calcul et à conserver une trace de ce qui a déjà été et de ce qui reste à compter. En ce qui concerne les stratégies verbales, les enfants d'école maternelle semblent utiliser le plus fréquemment les stratégies « tout compter » et « surcompter ». La première consiste à compter les deux nombres en partant de 1 : 3 + 4 est résolu en comptant 1, 2, 3, puis en poursuivant par un nombre de pas équivalent au second opérande : 4, 5, 6, 7. La seconde consiste à débuter directement le comptage à partir du premier opérande : 3, 4, 5, 6, 7. La stratégie de comptage verbal la plus sophistiquée et privilégiée dès la première année de primaire aboutit à compter non plus à partir du premier mais à partir du plus grand des deux nombres (stratégie dite du Min pour minimum, Groen et Parkman, 1972renvoi vers). Cette stratégie semble être « inventée » par les enfants et ne pas leur être enseignée.
Des procédures équivalentes sont relevées avec les soustractions. Dès 4 ou 5 ans, beaucoup d'enfants sont capables de résoudre des soustractions simples à l'aide de matériel manipulable. Trois stratégies principales ont été décrites (Carpenter et Moser, 1984renvoi vers) : « séparer de », consiste, pour calculer 5-3, à ôter 3 objets d'un ensemble de 5 et à dénombrer le résidu ; « ajouter à partir de », consiste à placer 3 objets, puis à ajouter des objets jusqu'à obtention d'un ensemble de 5. Le nombre d'objets ajoutés constitue le résultat ; « apparier », consiste à placer deux ensembles de 5 et 3 objets en correspondance terme à terme et à dénombrer les objets restant isolés.
Même chez de jeunes enfants, la sélection de la procédure de résolution dépend du problème posé. Par exemple, la question « Jean a 5 billes, il en donne 3 à Luc, combien lui en reste-t-il ? » sera préférentiellement résolue par une stratégie « séparer de », alors que le problème « Jean a 5 billes, Luc a 3 billes, combien Jean a-t-il de billes de plus que Luc » le sera par mise en correspondance des deux ensembles (apparier) (Carpenter et Moser, 1983renvoi vers ; Riley et coll., 1983renvoi vers ; De Corte et Verschaffel, 1987renvoi vers ; Fayol, 1991renvoi vers pour une synthèse). Cette flexibilité suggère que l'arithmétique intuitive des enfants de l'école maternelle repose en partie sur une représentation analogique des situations problèmes qu'ils ont à résoudre. Le comptage sur les doigts ou le comptage verbal simulent au moins initialement ces stratégies élémentaires.
Ces stratégies ne sont pas enseignées aux enfants mais découvertes par eux (Siegler et Jenkins, 1989renvoi vers). À son entrée à l'école primaire, l'enfant a déjà une longue expérience de la pratique de l'addition et a développé diverses stratégies. De toutes celles-ci, la plus rapide et la plus sûre est la récupération directe du résultat en mémoire. Rarement enseignée avec l'addition ou la soustraction, l'utilisation récursive des procédures de comptage pour résoudre un même problème conduirait à une association en mémoire à long terme du problème avec le résultat. Lorsque cette association est suffisamment forte, le résultat serait directement activé par la présentation des opérandes et récupéré en mémoire (Ashcraft, 1992renvoi vers). Cependant, la récupération de ces faits numériques semble plus fréquente pour l'addition que pour la soustraction qui demeurerait principalement résolue par des procédures de comptage.
À l'inverse de ce qui a été observé pour les additions et soustractions, il ne semble pas exister de développement spontané de procédures de comptage pour les multiplications et divisions chez les enfants d'âge préscolaire. Ceci est probablement lié au fait qu'il n'existe pas pour la multiplication (et a fortiori pour la division) d'algorithme élémentaire de calcul suffisamment fiable et rapide (Roussel et coll., 2002renvoi vers). Les multiplications simples semblent principalement acquises par apprentissage par cœur des tables (Geary, 1994renvoi vers), et les résultats récupérés directement en mémoire, ce qui pose un double problème. Le premier a trait à la mémorisation des associations entre opérandes et résultats (Lemaire et coll., 1994renvoi vers) ; le second concerne la récupération du seul résultat associé à une paire donnée d'opérandes alors même que cette paire est parfois reliée à plusieurs résultats (Campbell, 1987renvoi vers ; Lemaire et coll., 1996renvoi vers ; Barrouillet et coll., 1997renvoi vers). La division a été la moins étudiée des quatre opérations. Les enfants semblent utiliser deux stratégies principales de résolution. La première consiste en une récupération des faits multiplicatifs associés (Campbell, 1997renvoi vers). La seconde s'appuie sur l'addition récursive du diviseur jusqu'à atteinte du dividende.

Opérations complexes

Les opérations complexes sont celles qui portent sur des nombres à plusieurs chiffres et dont la résolution passe habituellement par des algorithmes de calcul reposant sur la notation positionnelle. Les recherches dans ce domaine sont rares (Charness et Campbell, 1988renvoi vers). La plupart des études se sont limitées à la description des erreurs les plus fréquemment commises par les enfants dans l'utilisation de la retenue, erreurs souvent appelées bugs (VanLehn, 1990renvoi vers). Des recherches supplémentaires sont nécessaires pour identifier avec précision les difficultés que rencontrent les enfants, les déterminants de ces difficultés et les moyens d'y remédier.

Modèles développementaux

Les premiers modèles concevaient le développement de l'arithmétique comme une succession de stades caractérisés chacun par un type de stratégie. Par exemple, le Min model de Groen et Parkman (1972renvoi vers) postulait que les jeunes enfants utilisent la stratégie « tout compter », que les enfants de 6 et 7 ans utilisent la stratégie Min et que les enfants plus âgés et les adultes utilisent la stratégie de récupération directe du résultat en mémoire. Cette conception est aujourd'hui abandonnée au profit de la conception de Siegler. Selon Siegler (1996renvoi vers), les enfants disposent à tous les âges d'un éventail de stratégies, même pour résoudre les problèmes en apparence les plus simples. Le problème se pose alors de savoir comment est sélectionnée une stratégie particulière pour un problème donné. Selon Siegler (1996renvoi vers), le choix des stratégies s'accompagne de cinq phénomènes fondamentaux : la variabilité, la flexibilité adaptative, le changement, les différences individuelles, et enfin la généralisation. La variabilité renvoie au fait que les individus utilisent une variété de stratégies, même pour résoudre un même problème. Ce choix de stratégie est adaptatif : les individus tendent à utiliser la stratégie la plus efficace et la moins coûteuse pour un problème donné (Siegler et Shrager, 1984renvoi vers). Le changement se traduit par le fait qu'au cours du développement, de nouvelles stratégies sont acquises, la fréquence d'utilisation des stratégies antérieures se modifie, celles qui se maintiennent deviennent toujours plus précises et rapides et enfin, la pertinence des choix de stratégies disponibles s'améliore (Siegler et Jenkins, 1989renvoi vers). Les différences interindividuelles sont par ailleurs considérables (Siegler, 1988renvoi vers). Enfin, le choix d'une stratégie nécessite que les leçons tirées des expériences passées soient généralisées aux problèmes et situations nouvelles (Siegler et Shipley, 1995renvoi vers). Ce choix n'est pas systématiquement déterminé par l'utilisation consciente et délibérée de connaissances dites métacognitives. Il dépendrait de la force d'association entre le problème à résoudre et les diverses réponses préalablement produites par le système, ainsi que d'informations stockées et automatiquement traitées sur la précision, la vitesse et le coût de mise en œuvre de chaque stratégie pour un problème donné. Ces informations seraient acquises à l'aide de processus associatifs élémentaires mis en œuvre lors des expériences passées (Siegler et Shrager, 1984renvoi vers ; Siegler et Shipley, 1995renvoi vers).

Performance experte

Les modèles disponibles considèrent plus ou moins explicitement que le développement conduit à l'utilisation d'une stratégie unique de récupération des résultats en mémoire, pour l'addition comme pour la multiplication. Or de nombreuses données conduisent à nuancer ce point de vue. Par exemple, Lefevre et coll. (1996renvoi vers) rapportent que les adultes résolvent 30 % des additions simples par des procédures algorithmiques de calcul. En outre, les stratégies utilisées par les enfants dépendent fortement de l'environnement pédagogique et culturel et le recours systématique à la récupération en mémoire d'un apprentissage systématique des tables. Ainsi, Geary (1996renvoi vers) rapporte que les enfants chinois de CE2 sont extrêmement plus rapides que leurs homologues américains pour résoudre les additions. Cette différence de vitesse et d'exactitude entre enfants asiatiques et nord-américains tient autant aux pratiques scolaires qu'aux différences culturelles dans l'importance que les parents accordent aux acquisitions arithmétiques et à l'attention qu'ils portent aux progrès de leurs enfants (Campbell et Xue, 2001renvoi vers).
Enfin, les stratégies utilisées par les enfants dépendent à la fois de l'environnement pédagogique et de la compréhension qu'ils ont des concepts qui sous-tendent les procédures. La découverte par les jeunes enfants des procédures algorithmiques pour les additions simples ainsi que la maîtrise des algorithmes de résolution des opérations complexes par les élèves de l'école primaire sont largement déterminées par leurs connaissances conceptuelles sur les nombres, la notation positionnelle ou encore le sens et la nature des opérations (Fuson, 1990renvoi vers). Nous avons déjà mentionné la supériorité des enfants asiatiques sur les enfants nord-américains, mais aussi européens dans le domaine de l'arithmétique. Fuson et Kwon (1992renvoi vers) observaient que pratiquement tous les enfants coréens de cours élémentaire, dont les performances en résolution d'opérations sont excellentes, maîtrisaient aussi correctement la notation positionnelle, comprenaient l'organisation en base 10 des nombres, et étaient capables d'expliquer les procédures efficaces. Ces connaissances conceptuelles ont été observées dans d'autres pays asiatiques (Stevenson et Stigler, 1992renvoi vers). Parallèlement, les faibles performances des enfants nord-américains en résolution d'opérations s'accompagnent en réalité d'une fréquente incompréhension de la notation positionnelle (Fuson, 1990renvoi vers). Les connaissances procédurales et conceptuelles semblent ainsi étroitement liées. Dans une étude longitudinale du CP au CM1, Hiebert et Wearne (1996renvoi vers) ont montré que les enfants qui avaient la compréhension la mieux développée au mois de décembre de l'année de CP étaient ceux qui présentaient les habiletés procédurales les plus solides au CM1.
L'évolution des stratégies de résolution des opérations met en évidence le rôle primordial que joue le langage dans la cognition numérique de l'être humain. Au départ verbales et gestuelles, ces stratégies évoluent vers de simples systèmes d'exploitation de la chaîne numérique verbale culminant dans la récupération d'informations en mémoire. Ainsi, les habiletés arithmétiques entretiennent des rapports étroits avec le langage, rapports dont l'analyse constitue le contenu de la partie suivante.

Langage et mathématiques

Dans la vie courante, la pratique des activités numériques est tellement associée à l'utilisation du langage que l'une et l'autre paraissent indissociables. Or, les données issues de la psychologie comparative, de la pathologie et de la psychologie du développement montrent que la relation entre langage et activités numériques est moins étroite qu'on ne le pense intuitivement. Ce constat oblige à reconsidérer le rôle du langage : intervient-il ? Si oui, quand ? Comment ? À propos de quelles activités (par exemple le comptage, le dénombrement, la résolution des opérations) ?

Relations complexes entre nombre et langage

Les nouveau-nés, les enfants d'âge scolaire et les adultes semblent disposer d'une capacité primitive et précoce d'évaluation approximative des quantités. Cette capacité étant préverbale, le problème se pose des relations qu'elle entretient avec les systèmes verbaux. Les descriptions de doubles dissociations (Butterworth, 1999renvoi vers) suggèrent que les capacités numériques peuvent être spécifiquement affectées par un trouble sans que les capacités langagières le soient, et inversement. Ce constat est un argument fort en faveur de l'indépendance de ces deux capacités (Dehaene et Cohen, 2000renvoi vers).
Le langage n'apparaît plus comme le médium supportant nécessairement les traitements numériques et autorisant seul les traitements arithmétiques. Il faut donc s'interroger sur l'éventuel impact du langage sur la réa-lisation des activités arithmétiques. Certaines thèses postulent l'existence d'une représentation amodale (McCloskey, 1992renvoi vers) alors que d'autres considèrent que le langage est le mode privilégié de représentation des nombres (Brysbaert et coll., 1998renvoi vers). Il existe indéniablement des relations entre activi-tés arithmétiques et activités langagières. La difficulté tient à la délimitation et à la détermination de ces relations (Campbell, 1994arenvoi vers et brenvoi vers ; Brysbaert et coll., 1998renvoi vers ; Spelke et Tsivkin, 2001renvoi vers).

Évolution des relations entre nombre et langage

L'existence de capacités précoces d'évaluation des quantités a laissé penser que l'acquisition des premiers nombres devrait être rapide et facile. Il s'agirait d'établir des associations simples entre des étiquettes verbales et des quantités petites et peu nombreuses (par exemple, un, deux et trois) qui sont très tôt discriminées. En fait, l'acquisition de la signification cardinale des noms de nombres soulève deux problèmes, qui ont été largement sous-estimés (Fayol, 2002renvoi vers). Le premier concerne le caractère abstrait du codage de l'accroissement des quantités par les dénominations (English et Halford, 1995renvoi vers) : l'ordre des noms de nombre code de manière conventionnelle l'accroissement des quantités. Le second a trait au caractère catégoriel de l'emploi des termes du lexique des nombres (Mix, 1999renvoi vers) : les enfants doivent acquérir la capacité à évoquer mentalement les quantités à partir des dénominations et cela indépendamment des caractéristiques concrètes des entités qui sont concernées. Ces deux dimensions soulèvent chacune des problèmes spécifiques, qui existent dans toutes les langues, comme l'atteste la lenteur équivalente de l'acquisition des premiers nombres (de un à dix) dans les cultures orientales et occidentales (Miller et Paredes, 1996renvoi vers).
Les comparaisons inter-langues attestent que les enfants asiatiques (Chine, Corée, Japon...) obtiennent des performances supérieures aux enfants occidentaux dans des épreuves d'arithmétique, même avant que l'école n'intervienne sur l'apprentissage (Wang et Lin, 2005renvoi vers). Cette supériorité paraît tenir au moins en partie au fait que le Chinois comme le Coréen et les autres langues de cette partie du monde présentent un système régulier (et décimal) de dénomination verbale des nombres entre dix et cent. Ceux-ci (exemple : trente-sept) sont élaborés en énonçant successivement le nombre de dizaines (exemple : trois dix) et le nombre d'unités (exemple : sept), soit « trois dix sept ». Cette organisation facilite l'acquisition et l'uti-lisation de la suite verbale des noms de nombres. La structure de la suite verbale dans les langues occidentales contraint les enfants en général, et les Français en particulier, à un apprentissage par cœur qui entraîne un retard croissant par rapport aux jeunes asiatiques. De plus, pour ce qui concerne plus spécifiquement les jeunes Français, les irrégularités de construction de soixante-dix, quatre-vingts et quatre-vingt dix ajoutent de nouvelles difficultés qui se traduisent par des erreurs et des retards supplémentaires dans l'apprentissage (Fayol et coll., 2000renvoi vers). Toutefois, ce retard pourrait n'être que verbal et n'avoir aucune incidence sur la représentation et le traitement des quantités.
Une question fondamentale consiste à chercher à déterminer si les variations langagières influent sur les performances lors des activités arithmétiques. Il semble que ce soit le cas relativement à la résolution d'opérations arithmétiques simples (exemple : l'addition ou la multiplication). Ces opérations se résolvent soit en recourant à une procédure (exemple : pour m+n ajouter n fois un à m) soit en retrouvant en mémoire une association entre un couple d'opérandes et un résultat (3 x 2 = 6). Une question importante a trait à l'éventuel impact de la forme des éléments de la suite numérique sur la compréhension de la structure décimale des nombres et sur l'impact de celle-ci relativement à la résolution des opérations. Certaines caractéristiques du langage facilitent (Ho et Fuson, 1998renvoi vers) ou, au contraire, rendent plus difficile (Levine et coll., 1992renvoi vers) la résolution d'opérations simples. Par exemple, la structure des dénominations aide à décomposer ou recomposer des sommes ou des différences : la vérification de l'opération « VI = 5 + 1 » est plus rapide que celle de « VI = 3 + 3 » (Noël et Seron, 1997renvoi vers). La difficulté est de déterminer s'il s'agit de dimensions centrales, ayant trait à la qualité des représentations, ou de dimensions périphériques liées aux traitements des formats d'entrée et de sortie (Miller et Zhu, 1990renvoi vers).
Les faits arithmétiques, quant à eux, renvoient aux problèmes (additions, soustractions, multiplications) dont la solution ne requiert pas le recours à des processus de calcul. Le débat relatif au format, amodal ou modal, de stockage et de récupération des faits arithmétiques reste ouvert. Certaines thèses suggèrent un stockage indépendant de la modalité (McCloskey, 1992renvoi vers), d'autres défendent l'idée d'un format verbal unique de stockage des tables de multiplication et de quelques additions sous forme d'associations verbales (Dehaene et Cohen, 2000renvoi vers). Les dissociations décrites, les corrélations entre troubles du langage et troubles des faits arithmétiques mais aussi la mise en évidence d'effets d'amorçage constituent autant d'arguments en faveur d'un codage verbal des faits arithmétiques chez les adultes. À ces données s'en ajoutent d'autres ayant trait aux performances des enfants. La forme des mots-nombres influe sur leur vitesse de prononciation, laquelle détermine l'empan de la mémoire de travail (Ellis, 1992renvoi vers). Le langage peut ainsi avoir un effet indirect sur la cognition arithmétique. Les langues dans lesquelles la vitesse d'articulation des noms de nombres est très élevée permettent de disposer de capacités plus importantes de mémoire de travail et, donc, à la fois, d'utiliser des procédures de résolution plus coûteuses (Ellis, 1992renvoi vers) et de mémoriser plus facilement les associations entre opérandes et résultats. À terme, la représentation des faits arithmétiques et les processus de traitement s'en trouvent affectés et diffèrent d'une communauté linguistique à l'autre (Campbell, 1994arenvoi vers et brenvoi vers).

Différences linguistiques et transcodage

Les problèmes liés au transcodage et à la compréhension de la notation positionnelle chez les enfants de nos écoles paraissent liés aux problèmes linguistiques générés par certaines spécificités du français. La faible transparence de la base dix dans les langues occidentales influe négativement sur l'apprentissage de la numération écrite. Cette dernière ne comporte qu'un nombre limité de chiffres (10 : de 0 à 9) et recourt à la notation positionnelle pour coder les puissances de 10. En conséquence, plus la correspondance oral/écrit est régulière comme en Chinois (shi yi=dix un=11 ; er shi san=deux dix trois=23), Coréen ou Japonais, plus l'acquisition de la numération écrite est facile et rapide (Miura et coll., 1994renvoi vers). La mise en évidence de difficultés d'apprentissage du code indo-arabe en relation avec la structure des dénominations verbales dans la langue maternelle pose le problème de leur influence à plus long terme (Fayol et coll., 1996renvoi vers).
L'absence de transparence des systèmes verbaux occidentaux rend plus tardive et plus complexe la maîtrise du système par comparaison avec les performances des enfants d'Asie de sud-est. Cependant, une fois automatisées, les associations entre cardinalités et dénominations ou combinaisons, les problèmes disparaissent ou deviennent négligeables, sauf peut-être en France où l'utilisation de dizaines complexes pour 70, 80 et 90 rend problématique l'acquisition et continue à produire des effets négatifs encore en troisième primaire (Seron et Fayol, 1994renvoi vers), et même chez les adolescents en difficulté scolaire (Barrouillet et coll., 2004renvoi vers).
Les recherches conduites auprès d'enfants présentant des troubles du langage mettent en évidence que leurs performances sont relativement bonnes lorsqu'elles portent sur des données numériques en chiffres arabes (Donlan et Gourlay, 1999renvoi vers). Ces enfants manifestent le classique effet de distance symbolique lorsqu'ils doivent comparer des quantités exprimées soit sous forme analogique (dessins d'objets ou collections de jetons) soit en chiffres arabes. Ces données suggèrent que les tâches de jugement symbolique font appel à des représentations non verbales et sont traitées sans recodage verbal (Fazio, 1996renvoi vers). En revanche, les recherches conduites auprès des enfants sourds ont révélé que ces derniers présentent des difficultés en mathématiques dont les causes semblent, paradoxalement, difficiles à identifier.

Mathématiques chez l'enfant sourd

Une des causes possibles des faibles performances des enfants sourds serait leurs difficultés en lecture. En effet, lorsque les tests requièrent beaucoup de lecture, les performances en mathématiques sont corrélées avec la compréhension en lecture (Pau, 1995renvoi vers). De plus, de nombreux termes spatiaux sont utilisés en mathématiques. Ces termes représentent une difficulté particulière pour les enfants sourds (Durkin et Shire, 1991renvoi vers). Il en va de même de ceux qui induisent des confusions entre les mots-nombres (par exemple en anglais, entre « eighteen » et « eighty ») principalement dues à la similarité phonologique (Secada, 1984renvoi vers). Enfin, les enfants sourds, comme tous les enfants ayant des troubles du langage, ont des difficultés particulières avec les connecteurs logiques comme « si », « parce que » et même avec des quantificateurs comme « quelques » ou « la plupart ».
Si les difficultés en lecture des enfants sourds peuvent donc être une cause de leurs moindres performances en mathématiques, elles ne permettent néanmoins pas d'expliquer leurs faibles performances dans des tâches ne demandant pas de lecture comme les tâches de conservation (Watts, 1982renvoi vers) ou la Tour de Hanoï (Luckner et McNeill, 1994renvoi vers). De plus, le degré de perte auditive n'a que très peu d'impact sur les scores aux tests mathématiques (Wood et coll., 1983renvoi vers). D'autres facteurs que les capacités langagières ont donc été avancés pour expliquer leurs moindres performances. Kohen-Raz et Masalha (1988renvoi vers) montrent, par exemple, que des facteurs non-verbaux tels que certaines habiletés motrices peuvent être impliqués dans les difficultés des enfants sourds. Ces facteurs sont éventuellement liés aux dysfonctionnements neurologiques que l'on trouve dans la population sourde (Kaga et coll., 1981renvoi vers). Une autre hypothèse suggère que ce n'est pas la surdité en elle-même qui cause les difficultés en mathématiques mais que c'est la le manque d'information et la moindre opportunité d'apprentissages « accidentels » (par exemple grâce aux chansons ou émissions enfantines) dont elle est la cause qui entraînent un moins bon apprentissage (Rapin, 1986renvoi vers).
En résumé, les rapports entre langage et nombre ne sont pas aussi étroits et directs que l'évolution des habiletés numériques chez l'enfant pourrait le laisser penser. Cette relative indépendance renforce l'hypothèse que les systèmes verbaux viennent se greffer sur les systèmes analogiques, antérieurs sur les plans phylo- et ontogénétique, décrits chez l'animal et le bébé. Ces systèmes verbaux, dont le principe initial consiste à affecter une étiquette verbale unique à chaque numérosité, limitent l'usage spontané du nombre aux entiers naturels, comme le montre bien l'étude des tribus d'Amazonie. C'est sans doute la raison pour laquelle l'introduction des fractions et des décimaux pose de tels problèmes aux enfants de l'école primaire.

Décimaux et fractions

Bolon (1993renvoi vers) rapporte une étude menée auprès de 135 élèves de 6e qui révèle que 65 % des enfants ne savent pas placer 9/4 sur une droite graduée de 0 à 9 (voir aussi Perrin-Glorian, 1986renvoi vers). Plus de la moitié des enfants ont des difficultés avec les produits, l'écriture fractionnaire d'un décimal, l'écriture décimale d'une fraction, les approximations. Ces difficultés sont loin d'être résolues au lycée. Les erreurs observées ne sont pas aléatoires. Elles sont reproductibles et persistantes, probablement dues à des représentations et conceptions erronées qui font ensuite obstacle à la suite de l'apprentissage des décimaux et des fractions.

Décimaux

Brousseau (1983renvoi vers) distingue trois origines différentes pour les obstacles didactiques : ceux d'origine ontogénique qui surviennent du fait des limitations de l'enfant à un moment de son développement ; ceux d'origine didactique qui semblent ne dépendre que d'un choix ou d'un projet du système éducatif ; ceux d'origine épistémologique qui sont constitutifs de la connaissance visée. On retrouve parfois ces derniers dans l'histoire des concepts eux-mêmes, et il est illusoire de vouloir y échapper.
Associer les décimaux à des mesures et les séparer du monde des fractions a créé un certain nombre d'obstacles didactiques qui provoquent des erreurs caractéristiques telles que penser que 8,35 est plus petit que 8,257 puisque 35 est plus petit que 257 (Comiti et Neyret, 1979renvoi vers), ou qui permettent des écritures ambiguës comme 1,850 kg=1 850 g, ce qui n'est vrai que si le nombre reste étroitement associé à l'unité de mesure. De là différentes tentatives et propositions visant à rapprocher décimaux et fractions (Comiti et Neyret, 1979renvoi vers ; Brousseau, 1983renvoi vers).

Fractions

Les enfants paraissent disposer d'une représentation naïve très précoce des fractions (Mix et coll., 1999renvoi vers ; Gallistel et Gelman, 1992renvoi vers) et ont de nombreuses occasions de les manipuler dans leur vie quotidienne (situation de partage). Malgré cela, l'apprentissage des fractions se révèle très difficile pour la plupart d'entre eux (Clements et Del Campo, 1990renvoi vers). Diverses raisons ont été émises afin d'expliquer ces difficultés. Tout d'abord, les toutes premières connaissances acquises par les enfants au sujet des fractions reposent quasi-exclusivement sur les situations de partage (Watson et coll., 1999renvoi vers). Cette conception des fractions comme « la partie d'un tout » empêche de les considérer comme des nombres. Une deuxième source possible de difficultés serait l'association faite par les enfants entre les fractions et des objets concrets, comme pour l'apprentissage des nombres entiers. Le fait que les fractions évoquent une représentation concrète rend l'idée même d'opérations sur les fractions difficilement concevable. Toutefois, certains auteurs préconisent de conserver le lien existant entre les fractions et leurs diverses représentations concrètes. Ce serait en multipliant les représentations concrètes associées à chaque fraction que les enfants pourraient abstraire le concept de fraction (Streefland, 1997renvoi vers).
En résumé, les difficultés rencontrées par les enfants dans l'apprentissage des fractions peuvent être attribuées à la prédominance d'un modèle inapproprié, à l'utilisation de représentations concrètes, à la difficulté de concevoir les fractions comme des nombres, à l'application sans réelle compréhension de procédures calculatoires, sans qu'on puisse déterminer les poids respectifs de chacun de ces facteurs.

Résolution de problèmes

La résolution de problème demeure l'activité dans laquelle les élèves rencontrent le plus de difficultés, comme l'indiquent toutes les études internationales (Fayol et coll., 1997renvoi vers). Ainsi, les processus cognitifs sous-tendant la résolution de problèmes font-ils l'objet de nombreuses études en psychologie. De même, la formulation et le contexte de présentation des problèmes, l'impact qu'ils ont sur les performances et les progrès des élèves sont au cœur des préoccupations des spécialistes de la didactique et de l'éducation.

Problèmes verbaux : le point de vue cognitif

Tous les chercheurs s'accordent pour admettre qu'il existe différents types de problèmes additifs et pour considérer que ces grandes catégories ne sont pas réductibles à l'opération mise en jeu (Fayol, 1991renvoi vers). Pour résoudre un problème arithmétique à énoncé verbal, les sujets doivent posséder des connaissances conceptuelles relatives aux accroissements, diminutions, combinaisons et comparaisons. C'est sur cette base que les taxonomies ont été construites. La classification la plus connue (Riley et coll., 1983renvoi vers) distingue trois grands ensembles de problèmes. En premier lieu, les problèmes de changement impliquent tous au moins une transformation temporelle appliquée à un état initial et aboutissant à un état final. La seconde catégorie correspond aux problèmes de type combinaison qui concernent des situations statiques (par exemple, Marc a 5 billes, Luc a 3 billes, combien ont-ils de billes ensemble ?). Une troisième catégorie regroupe les problèmes de comparaison dans lesquels il s'agit également de comparer des situations statiques à l'aide de formulations du type « plus de / moins de ». La validité écologique de cette classification a été attestée car d'une part, des problèmes du même type donnent lieu à des réussites décalées dans le temps (par exemple, les problèmes de comparaison et les problèmes à états initiaux inconnus sont les plus tardivement réussis). D'autre part, des types de problèmes différents donnent lieu à des taux de réussite différents chez des sujets de même âge ou de même niveau scolaire. La classification précédente repose sur les concepts d'accroissement, de diminution, combinaison et comparaison. La seule classification purement conceptuelle provient de Vergnaud (1982renvoi vers), qui a isolé 6 catégories de relations en fonction de trois types de concepts principaux : la mesure, les transformations temporelles et les relations statiques.
Plus que l'opération à effectuer, la sémantique et la structure du problème déterminent pour une large part les performances et les stratégies des sujets. En effet, ces facteurs déterminent la forme, la nature et la difficulté de construction de la représentation. Pour comprendre un problème, il faut s'en construire une représentation soit par particularisation d'un schéma soit par construction d'une représentation de situation (Richard, 1990renvoi vers).
Un schéma est un ensemble de connaissances abstraites qui peuvent être définies comme les traces laissées en mémoire par les situations rencontrées précédemment et organisées en objet structuré ayant un certain nombre de propriétés caractéristiques (Schank et Abelson, 1977renvoi vers ; Kintsch et Greeno, 1985renvoi vers). Ainsi, le sujet extrairait les caractéristiques invariantes de chaque catégorie de problème et constituerait ainsi des cadres correspondant à leur structure. Ces cadres, disponibles en mémoire à long terme, comporteraient un certain nombre de places vides (ou variables) qui seraient remplies (instanciées) par des informations spécifiques (des objets) fournies par l'énoncé. Ainsi, le sujet sélectionnerait le schéma correspondant à l'organisation relationnelle des données et mettrait en œuvre les procédures pertinentes. Le problème est alors résolu. Cette conception rend compte du fait que certains problèmes sont plus difficiles à résoudre que d'autres du fait qu'ils correspondent directement ou non à des schémas utilisables (Kintsch et Greeno, 1985renvoi vers). Elle permet également d'expliquer l'effet facilitateur du placement de la question en tête d'un énoncé arithmétique (Devidal et coll., 1997renvoi vers).
En l'absence de schéma disponible en mémoire à long terme, les sujets sont obligés de construire en mémoire de travail une représentation ad hoc de la situation problème dite modèle de situation (Kintsch, 1979renvoi vers) ou modèle mental (Johnson-Laird, 1983renvoi vers). Cette représentation conserve les relations entretenues entre les divers éléments qu'elle intériorise (Van Dijk et Kintsch, 1983renvoi vers). Ainsi, les aides à la construction d'une représentation adéquate, soit en fournissant du matériel concret (Jaspers et Van Lieshout, 1994arenvoi vers et brenvoi vers), soit en enseignant à représenter sur des diagrammes les relations entre les différentes quantités du problème (Willis et Fuson, 1988renvoi vers), améliorent les performances.
La théorie des schémas et celle des modèles de situation ou modèles mentaux fournissent donc une interprétation des changements de performances en fonction des caractéristiques sémantiques des énoncés de problèmes (Thévenot et coll., 2004renvoi vers). Cependant, ces performances ne dépendent pas exclusivement des caractéristiques des énoncés mais peuvent être dépendantes de caractéristiques inhérentes aux individus confrontés aux problèmes. En effet, une grande partie de la variance observée en résolution de problèmes verbaux est attribuable aux capacités de compréhension du texte (De Corte et Verschaffel, 1985renvoi vers ; Cummins et coll., 1988renvoi vers). De même, comme cela a été montré pour la résolution d'opérations simples, les difficultés en résolution de problèmes semblent liées à des déficits en mémoire de travail (Swanson, 1994renvoi vers ; Passolunghi et Siegel, 2001renvoi vers).
Il est également impossible de négliger la situation dans laquelle est plongé l'élève : dans une classe, avec un instituteur, à l'école. Certains auteurs (De Corte et Verschaffel, 1985renvoi vers) ont montré que la connaissance d'un schéma général, représentation de ce qu'est un texte de problème à l'école, était indispensable pour mener à bien la résolution. D'autres auteurs (Carpenter et coll., 1983renvoi vers), en examinant les caractéristiques des énoncés et les objectifs des enseignants, ont expliqué comment ce schéma pouvait se construire, puis parfois devenir une caricature de lui-même. C'est cette caricature qui explique l'apparition de comportements détachés du monde réel et de tout bon sens.
De Corte et Verschaffel (1985renvoi vers) ont suggéré qu'une partie des erreurs observées était imputable à l'absence d'un Word Problem Schema, ou WPS. Ce schéma, formel et général, pilote la lecture de l'énoncé. Il est surordonné par rapport aux schémas sémantiques et relationnels évoqués plus haut et met en œuvre des processus d'interprétation pragmatiques qui s'ajoutent aux processus d'interprétation sémantique. Il engage des connaissances concernant la structure, le rôle, et les objectifs « du » problème arithmétique en général, tel qu'il est habituellement proposé à l'école. De Corte et Verschaffel (1985renvoi vers), mais aussi Brissiaud (1988renvoi vers), ou encore Coquin-Viennot (1996renvoi vers et 2000renvoi vers) ont montré que le WPS, absent au début de la première année d'école, semble acquis par une majorité d'élèves vers 8 ans. Il est mobilisé sur la base du contexte (classe de mathématique) et du type de texte. Les connaissances pragmatiques sont rendues nécessaires par la nature stéréotypée des problèmes scolaires qui s'opposent aux problèmes quantitatifs de la vie réelle (Nesher, 1980renvoi vers). La raison de cet écart tiendrait à ce que les problèmes de l'école servent à enseigner l'arithmétique appliquée et non à résoudre des questions de la vie réelle. Les deux sont associés à des registres différents, sans correspondance (Gerofsky, 1996renvoi vers).
Il est facile de faire apparaître des erreurs qui manifestent les conceptions des élèves, (Brousseau, 1983renvoi vers et 1990renvoi vers ; Carpenter et coll., 1983renvoi vers). Les réponses absurdes seraient attribuables au caractère stéréotypé de la plupart des problèmes à énoncés verbaux, celui-ci résultant du classroom climate, autrement dit au contrat didactique résultant de l'objectif poursuivi par le maître (Gravemeijer, 1997renvoi vers). Verschaffel et coll. (1997renvoi vers) ont montré que l'attitude de déconnexion de la réalité s'observe chez des étudiants d'instituts de formation des maîtres dans les Flandres au même titre que chez les élèves. Il n'est, dans ces conditions, pas surprenant que le phénomène perdure en classe.

En conclusion,

quatre remarques principales semblent pouvoir être dégagées, lesquelles indiquent en retour quatre directions possibles d'investigation à court et moyen terme.
Premièrement, il ne fait plus de doute que les êtres humains disposent dès la naissance, ou très précocement, d'habiletés proto-numériques qui orientent le comportement des jeunes enfants dans les situations dont les aspects quantitatifs sont pertinents. Apparemment héritées de l'évolution et présentes chez d'autres espèces, ces capacités iraient au-delà d'un sens naturel et fondamental du nombre et de la quantité et incluraient une compréhension intuitive de l'arithmétique simple, notamment la perception et la manipulation approximative des quantités. Ces représentations intuitives constitueraient une base sur laquelle fonder les premiers apprentissages (Fayol et Seron, 2005renvoi vers).
Deuxièmement, nous disposons de connaissances relativement précises de l'évolution des performances des enfants entre 3 et 7-8 ans. Même si certains aspects mériteraient d'être éclaircis, par exemple les processus qui permettent l'émergence de nouvelles stratégies, tout ou presque semble avoir été dit sur l'acquisition de la chaîne numérique verbale, son réinvestissement dans les procédures de quantification, et l'impact qu'ont ces dernières sur la création spontanée de stratégies permettant de résoudre les situations simples d'addition et de soustraction. Ces habiletés sur lesquelles nous avons le plus de connaissances sont aussi celles qui posent le moins de problèmes, comme l'apprentissage des algorithmes élémentaires de calcul des additions ou des soustractions simples (à un chiffre) (Fayol et coll., 1997renvoi vers). Les données disponibles permettent d'établir des trajectoires de développement et, donc, d'évaluer la relative conformité des performances d'un enfant en référence à celles de ses pairs. Ce qui a conduit à l'élaboration récente de plusieurs tests (Tedi-Math, Numerical).
Troisièmement, les rapports entre langage et arithmétique sont relativement bien étudiés et connus. Les recherches ont permis de dresser un panorama des différences interculturelles dues aux spécificités des diverses langues et de collecter des données relatives aux troubles qui résultent des difficultés de langage. Sans constituer un obstacle insurmontable, l'opacité des langues européennes, et plus particulièrement du français qui y ajoute la difficulté des dizaines complexes, contribue aux différences internationales qui sont systématiquement en faveur des pays asiatiques. Même si ces différences ne sont pas seulement imputables à la langue, les langues qui rendent transparent le système décimal sont probablement les plus appropriées à l'enseignement de l'arithmétique, notamment lors du passage au format indo-arabe et à la résolution des opérations complexes (par exemple soustractions avec retenues ou divisions). Il reste un domaine à explorer, celui qui a trait aux possibles substitutions de systèmes non verbaux (abaques, système indo-arabe) lors de l'apprentissage, pour des populations présentant des troubles spécifiques du langage.
Quatrièmement, il semble que les difficultés commencent lorsque les habiletés élémentaires, implicitement acquises et mises en œuvre au sein d'une culture donnée, doivent être intégrées et réinvesties dans des habiletés plus complexes comme l'utilisation des décimaux, les opérations sur de grands nombres, la compréhension de l'écriture positionnelle et ses rapports avec la base 10, ou encore la résolution de problèmes, qui demeure le principal écueil auquel se heurtent les enfants de l'école élémentaire. C'est bien dans le passage du nombre intuitif aux mathématiques que se situe la difficulté (Dehaene, 1997renvoi vers). C'est aussi là que nos connaissances sont les plus lacu-naires.
Quelques domaines devraient donner lieu à des explorations précises. Le premier concerne les liens entre, d'une part, le système proto-numérique et les intuitions dont nous avons hérité grâce à l'évolution et, d'autre part le système numérique verbal. Les tentatives sont en effet rares qui prennent pour objet d'étude la cognition numérique dans la petite enfance, entre 2 et 4 ans. Il s'agit pourtant d'un moment clef du développement où il devrait être possible de déterminer si l'apprentissage du système numérique verbal s'appuie sur le système proto-numérique préexistant, ou bien s'il s'agit de deux constructions indépendantes qui ne sont qu'ensuite, et difficilement, mises en relation. Il devrait ainsi être possible de déterminer si les approches initiales du nombre doivent ou non s'appuyer sur les intuitions préverbales précoces.
Le deuxième domaine a trait à la résolution des opérations à plusieurs chiffres. Si les opérations à un chiffre et leur résolution ont été très largement étudiées, en revanche on sait peu de chose sur les obstacles auxquels se heurtent les enfants dans l'acquisition des algorithmes complexes qui constituent toujours une part importante des apprentissages scolaires. Rien ou presque n'est connu des processus en jeu dans l'acquisition et la mise en œuvre des algorithmes complexes de la multiplication ou de la division, du rôle qu'y jouent les connaissances conceptuelles ayant trait à la notation positionnelle, ou encore de l'effet en retour que peut avoir l'apprentissage de ces algorithmes sur les connaissances conceptuelles concernant les nombres et leur écriture.
La troisième perspective concerne les difficultés que rencontrent les enfants avec les fractions et les nombres décimaux. Très peu d'informations sont disponibles sur les processus cognitifs qui sous-tendent la compréhension et le traitement de ces nombres. Doivent-ils réellement, comme le suggèrent de nombreux didacticiens, être abordés comme de nouveaux nombres, ou doit-on s'appuyer sur la compréhension intuitive dont semblent disposer les êtres humains pour les nombres entiers ? Est-il réellement possible de les aborder comme des nombres totalement nouveaux lorsque le langage, dont nous avons vu l'importance dans les acquisitions numériques, les traite comme de simples nombres entiers accolés ?
Enfin, la résolution de problème demeure la difficulté majeure à laquelle sont confrontés les enfants. Il est donc nécessaire de développer une meilleure compréhension à la fois des processus cognitifs en jeu dans cette activité et des modalités d'intervention didactiques. Cependant, l'analyse des processus cognitifs est rendue ardue par la complexité de la tâche. En effet, un modèle général de la résolution de problèmes nécessite l'intégration d'un modèle de la compréhension de texte, d'un modèle descriptif et dynamique de la structure des représentations quantifiées qui résultent de cette compréhension, et enfin d'un modèle rendant compte de la mobilisation et de la mise en œuvre des connaissances numériques nécessaires à l'atteinte des buts fournis par ces représentations. L'émergence d'un tel modèle est rendue d'autant plus difficile que ces trois points sont traités par des domaines de recherche distincts (la compréhension de texte, le raisonnement, l'arithmétique cognitive).

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